Kurtcan Çelebi, 1985 yılında Samsun'da doğdu. İlköğrenimini Mamak İmam Hatip Orta Okulu'nda, orta öğrenimini Mamak İmam Hatip Lisesi'nde tamamladı.
Anadolu Üniversitesi Kamu Yönetimi bölümünden mezun olan Çelebi, ticaretle uğraşmaktadır. Siyasi alanda görev almadan önce çeşitli sivil toplum kuruluşlarında aktif olarak faaliyet göstermiştir.
2007 yılında AKP Mamak İlçe Gençlik Kolları Yönetim Kurulu Üyesi olarak görevlendirilmiş; bu süre içerisinde çeşitli başkan yardımcılıkları görevlerinde bulunmuştur.
2011'de gerçekleştirilen İlçe Gençlik Kolları 3. Olağan Kongresinde, AKP Mamak İlçe Gençlik Kolları Başkanlığına seçilmiştir. 2012'de gerçekleştirilen Genel Merkez Gençlik Kolları 3. Olağan Kongresinde Merkez Karar Yönetim Kurulu Üyesi olarak seçilen Kurtcan Çelebi, Yerel Yönetimlerden Sorumlu Başkan Yardımcılığı ve Seçim İşlerinden Sorumlu Başkan Yardımcılığı görevlerini yürütmüştür.
2014 yılında gerçekleştirilen Yerel Seçimlerde, Mamak İlçe Belediyesi Meclis Üyeliği ve Ankara Büyükşehir Belediyesi Meclis Üyeliğine seçilmiştir.
3 Eylül 2014'te AKP Ankara İl Gençlik Kolları Başkanı olarak görevlendirilen Çelebi, İl Gençlik Kolları 4. Olağan Kongresinde de AKP Ankara İl Gençlik Kolları Başkanlığına seçilmiş olup halen görevine devam etmektedir.