Akdoğan Özkan

Hayır! Bakmayın dillerden düşürmediğimiz “top yuvarlaktır” klişesine. Top aslında yuvarlak değil, “yuvarsı” bir cisimdir! Çünkü yuvarlaktan kasıt küredir. Oysa resmi futbol topu hiçbir zaman küre şeklinde tek bir dışbükey yüzey olarak tasarlanmamıştır. Top küre değildir, küremsidir.

Neden küre değil de küremsi, yuvarlak değil de yuvarsı peki? Çünkü topu, tek yüzeyli bir parçadan küre formunda yapıp şişirerek oynanacak hale getirdiklerinde bakmışlar ki, çabuk deforme oluyor ve sahada düzgün durmuyor. Yani “meşin yuvarlak” küre yani yuvarlak olduğunda, futbol futbol olmaktan çıkıyor. Bunun üzerine topu oynamaya elverişli hale getirmek için birden fazla yüzeye sahip parçalardan imal etmek gereğini düşünmüşler.

En sonunda da 12 siyah beşgen ve 20 beyaz altıgenden oluşan 32 panelli şeklinde karar kılmışlar. Resmi futbol toplarının bugün farklı formları olsa da, tarihte sahalara en çok çıkan form bu 32 panelli futbol topu olmuş.

Peki buna kim karar vermiş? Tabii ki futbol yorumcuları, köşe yazarları değil, matematikçiler!

Nasıl karar vermişler peki? Şimdi sıkı durun, “topun yuvarlak” olmadığı bir sahaya, geometri ve cebirin alanına giriyoruz.

Ünlü Gauss Teoremi’ni ortaya atan Carl Gauss’u (1777-1855) bilenleriniz vardır. İşte bu Alman matematikçi, futbol topunun yuvarlak değil yuvarsı olması gerektiğini düşünenlerin dayandığı iki farklı teoremden birini 1828’de ortaya atmıştı. Gauss’un tezi gayet açıktı: Düz tek bir katı maddeden mükemmel bir küre yapmak mümkün değildir! Böyle olduğunda hep bir takım kırışıklıklar ya da şekil bozuklukları olur.

Zaten haritacılar bu gerçeği Gauss’tan çok önce fark ettikleri için dünyayı haritalara yansıtırken farklı “projeksiyon” sistemleri kullanmışlardı.

Peki, düz tek bir katı cisim kullanmayacaksak, küreye en yakın şekli hangi geometrik şekilden ve kaçar tane kullanarak elde edeceğiz? Bu soruya cevap getirecek bağıntıyı ortaya koymak da 1750 yılında İsviçreli matematikçi ve fizikçi Leonhard Euler’e (1707-1783) nasip oldu. (Aslında teoremi ilk bulanın 1635’de Rene Descartes olduğu da söylenir.)

“Euler Formülü” olarak da bilinen teorem, geometri ve cebirsel topolojide, kenar sayıları, köşeler ve dışbükey çokyüzlülerin yüzeyleri arasındaki ilişkiyi şu şekilde tanımlıyor: Çokgenlerden yapılma herhangi bir cisimde yüzeylerin (Y) ve köşelerin (KÖ) toplamı kenarların (KE) toplamından her zaman 2 fazladır. Yani,

Y + KÖ = KE + 2

Haydi, şimdi bunu bir küp için doğrulamaya çalışalım. Evet, bir küpte 6 yüzey ve 8 köşe var. Bunların toplamı da (14) kenarların sayısı olan 12’den 2 fazla. Demek ki doğru.

Aynı formülü kullanarak bir futbol topunda kullanılması gereken çokgenlerin sayısını bakalım nasıl bulacağız?

Önce Y + KÖ = KE + 2 şeklindeki Euler Formülünü yazalım. Bu aynı zamanda şu demek:

Y-KE+ KÖ =  2

Bu arada her beşgenin (b) 5 kenarı, her altıgenin (a) de 6 kenarı olduğunu unutmayalım:

Yani, Y = b + a

Her kenar iki yüzeyi paylaştığı için de,

KE = (5*b + 6*a) / 2

Öte yandan, her köşenin 3 yüzey tarafından paylaşıldığını da bildiğimize göre,

KÖ= (5*b + 6*a) / 3

Şimdi tüm bu değerleri Euler Formülü’nde yerine koyduğumuzda, beşgenlerin sayısını,

b+a -(5*b + 6*a) / 2 + (5*b + 6*a) / 3=  2

 

b = 12  olarak buluruz.

Demek ki, altıgen ve beşgenlerden meydana gelecek bir küre oluşturmak istiyorsak her şeyden önce 12 beşgene ihtiyacımız oluyor. 12 beşgenimiz varsa ve (bu birbirine değmeyecek olan) her beşgen 5 köşeye açılıyorsa, demek ki 60 da köşemiz var, demektir. Bu değerleri

KÖ= (5*b + 6*a) / 3 denkleminde yerinde koyarsak, altıgenlerin sayısını

a = 20 olarak buluruz.

Öyleyse, bir futbol topunda 12 beşgen, 20 altıgen, 60 köşe ve 90 da kenarımız olacak demektir. (Tabii altıgenler birbirleriyle yan yana gelebilirler ama beşgenler gelemez.) Bu da matematikçilerin “kesik ikosahedron” dedikleri bir geometrik şekle karşılık geliyor. İşte dünyanın dört bir yanında milyonlarca insanın arkasından koştuğu, yorumcuların ise her ihtimale kapıyı açık bırakmak için “yuvarlak” tutup “arkasından konuştuğu” top bu!

Şimdi bulduğumuz değerlerin Euler Formülü’nü sağlayıp sağlamadığına bakalım:

(12+20) +60 = 90 + 2

Evet, sağlıyor. Demek ki neymiş? Top yuvarlak değil, yuvarsıymış! Ayrıca “futbol sadece futbol değil”, biraz geometri, ama çoğunlukla da cebirmiş!

Gerçi, futbolun bir oyun değil, cebir (!) olduğunu, 16 Kasım 2005’te oynadığımız İsviçre maçında, Alpay’ıyla, Emre’siyle, Serkan’ıyla, Şifo Mehmet’iyle, Fatih Terim’iyle son derece net bir şekilde biz de kanıtlamıştık!

Ama umarım 10 Haziran Cuma günü Fransa – Romanya maçıyla açılacak olan Euro 2016’da bu tip maliyetli (!) cebir teoremlerinden uzak dururuz. Ve umarım futbolun bir oyun hem de çok güzel bir oyun olduğunu, “fair play” ile daha da güzelleştiğini–tıpkı 2002 Dünya Kupası’nda yaptığımız gibi- bir kez daha kanıtlayabiliriz!

Pek çok yönden sınanacağımız Euro 2016’da şampiyonluğa ulaşmasak da olur!

@akdoganozkan